三角函数在机器学习中的应用

三角函数回顾

六大三角函数

直角三角形定义

在一个直角三角形中，假设有一个锐角$\theta$，定义：

• 邻边（Adjacent）：与角$\theta$相邻的边。
• 对边（Opposite）：与角$\theta$相对的边。
• 斜边（Hypotenuse）：直角三角形的最长边（对着直角）。

• 正弦（sinθ）=对边/斜边
• 余弦（cosθ）=邻边/斜边
• 正切（tanθ）=对边/邻边= $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
• 余切（cotθ）=邻边/对边= $\frac{1}{\tan\theta}$
• 正割（secθ）=斜边/邻边= $\frac{1}{\cos\theta}$
• 余割（cscθ）=斜边/对边= $\frac{1}{\cos\theta}$

单位圆定义

在单位圆（半径=1）中，角度 𝜃θ 终边交于点(x,y)：

• sinθ=y
• cosθ=x
• tanθ=y/x
• cotθ=x/y
• secθ=1/x
• cscθ=1/y

单位圆中的sin和cos

将角度$\theta$放在单位圆（半径为1的圆）中，几何意义更加通用：

• 以坐标原点为中心，角$\theta$的终边（从x轴正方向逆时针旋转得到）与单位圆交于点(x,y)。
• 余弦（cosθ）是终边交点的x坐标。
• 正弦（sinθ）是终边交点的y坐标。

关键性质

• 任何角度都适用（包括超过90度的角和负角）。
• 符号规则：
  • 第一象限（0°~90°）：$\sin\theta>0，\cos\theta>0$
  • 第二象限（90°~180°）：$\sin\theta>0，\cos\theta<0$
  • 第三象限（180°~270°）：$\sin\theta<0，\cos\theta<0$
  • 第四象限（270°~360°）：$\sin\theta<0，\cos\theta>0$

几何意义总结

• cosθ：反映角度$\theta$在水平方向（x轴）的投影比例。例如：推箱子时，力的水平分量=力的大小×cosθ。
• sinθ：反映角度$\theta$在垂直方向（y轴）的投影比例。例如：斜坡上物体的重力沿斜坡的分量=重力×sinθ。

三角函数的图像与性质

正弦函数（sinθ）

• 图像：周期性波浪线，周期$2\pi$，范围[−1,1]。
• 对称性：奇函数（关于原点对称）。
• 零点：$0,\pi,2\pi,\dots$

余弦函数（cosθ）

• 图像：类似正弦曲线，但起点在(0,1)，周期$2\pi$，范围 [−1,1]。
• 对称性：偶函数（关于y轴对称）。
• 零点：$\pi/2,3\pi/2,\dots$

正切函数（tanθ）

• 图像：周期性曲线，周期$\pi$，在$\pi/2+k\pi$处有垂直渐近线。
• 定义域：$\theta\neq\pi/2+k\pi$
• 值域：全体实数$(-\infty,+\infty)$。

其他函数图像

• cotθ：与tanθ图像相似，但相位偏移𝜋/2。
• secθ和cscθ：分别在cosθ和sinθ的零点处有渐近线。

图像记忆法

• 余弦曲线（cosθ）：关于y轴对称的波浪线，起点在(0,1)(0,1)。
• 正弦曲线（sinθ）：关于原点对称的波浪线，起点在(0,0)(0,0)。

重要公式与恒等式

基本关系

倒数关系：

$$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$$

商数关系：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

勾股定理：

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\quad1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\quad1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$

角度转化：

$$\cos(-\theta)=\cos\theta,\quad\sin(-\theta)=-\sin\theta$$

和差角公式

$$\begin{aligned}\sin(A\pm B)&=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B\\\cos(A\pm B)&=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B\\\tan(A\pm B)&=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}\end{aligned}$$

倍角与半角公式

倍角公式：

$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\quad\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$

半角公式：

$$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}},\quad\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$$

导数和积分

导数

$$\begin{aligned}\frac{d}{d\theta}\sin\theta&=\cos\theta\\\frac{d}{d\theta}\cos\theta&=-\sin\theta\\\frac{d}{d\theta}\tan\theta&=\sec^2\theta\\\frac{d}{d\theta}\cot\theta&=-\csc^2\theta\\\end{aligned}$$

积分

$$\begin{aligned}\int\sin\theta\,d\theta&=-\cos\theta+C\\\int\cos\theta\,d\theta&=\sin\theta+C\\\int\tan\theta\,d\theta&=-\ln|\cos\theta|+C\\\end{aligned}$$

反三角函数

反三角函数用于从已知的三角函数值求角度：

• arcsin（反正弦）：定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]。
• arccos（反余弦）：定义域[-1,1]，值域[0,π]。
• arctan（反正切）：定义域全体实数，值域(-π/2,π/2)。

示例：

• $\arcsin(0.5)=π/6$
• $\arccos(-1)=π$
• $\arctan(1)=π/4$

实际应用场景

• 物理学：
  • 力的分解（如斜面上的重力分解）。
  • 简谐振动（弹簧振子的运动方程）。
• 工程学：
  • 交流电路分析（电压和电流的相位关系）。
  • 信号处理（傅里叶变换中的正弦波合成）。
• 计算机图形学：
  • 3D旋转（旋转矩阵中使用sin和cos）。
  • 光照模型（计算光线与表面法线的夹角）。
• 地理测量：
  • 三角定位（GPS、地图测绘）。
• 机器学习：
  • 特征工程（周期性特征的编码，如时间序列的月份、星期）。
  • 数据增强（图像旋转中的坐标变换）。

常见误区

• 角度单位混淆：区分弧度（radians）和角度（degrees），公式中默认用弧度。
• 反三角函数的多值性：如$\arcsin(0.5)$可能有多个解，但主值唯一。

三角函数与特征工程

在机器学习中，对时间相关的周期性特征（如小时、星期、月份）进行编码时，直接使用原始数值（例如用 1~12 表示月份）可能会引入误导性假设（如“12月”和“1月”在数值上相邻，但实际时间上是连续的）。三角函数编码（正弦/余弦变换）可以将周期性特征映射到连续的循环空间，保留时间的内在周期性。

周期性特征的问题

假设原始特征为小时（0~23），直接输入模型可能导致以下问题：

• 数值跳跃性：23点和0点相差1，但实际是连续的。
• 线性误解：模型可能认为“23点”和“0点”距离很远，但实际上它们是相邻的。

解决方案：三角函数编码

将周期性特征映射到正弦和余弦函数上，保留循环性：

将特征归一化到[0,2π]范围：

$$\text{弧度}=\frac{2\pi\times\text{原始值}}{\text{周期长度}}$$

例如，小时（周期24）的弧度为：$2\pi\times\text{小时}/24$

计算正弦和余弦值：

$$\sin(\text{弧度}),\quad\cos(\text{弧度})$$

同时使用两个函数可以消除单一函数的对称性歧义（如$\sin(0)=\sin(\pi)=0$）。

Python代码实现

生成示例数据

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建示例数据：时间特征（小时、星期、月份）
data = {
    "hour": np.arange(0, 24),
    "day_of_week": np.tile(np.arange(0, 7), 4)[:24],  # 重复4次并截取前24个
    "month": np.tile(np.arange(1, 13), 2)[:24]  # 重复2次得到24个
}
df = pd.DataFrame(data)

定义周期性编码函数

def encode_cyclic_feature(df, col_name, period):
    """将周期性特征编码为sin和cos分量"""
    # 计算弧度
    radians = 2 * np.pi * df[col_name] / period
    # 计算sin和cos
    df[f"{col_name}_sin"] = np.sin(radians)
    df[f"{col_name}_cos"] = np.cos(radians)
    return df

# 对小时、星期、月份分别编码
df = encode_cyclic_feature(df, "hour", period=24)
df = encode_cyclic_feature(df, "day_of_week", period=7)
df = encode_cyclic_feature(df, "month", period=12)

# 查看结果
print(df[["hour", "hour_sin", "hour_cos"]].head(3))

输出示例：

hour hour_sin hour_cos
0    0 0.000000 1.000000
1    1 0.258819 0.965926
2    2 0.500000 0.866025

可视化编码效果

# 绘制小时的sin/cos编码效果
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.scatter(df["hour"], df["hour_sin"], label="hour_sin")
plt.scatter(df["hour"], df["hour_cos"], label="hour_cos")
plt.xlabel("Original Hour")
plt.ylabel("Encoded Value")
plt.title("Cyclic Encoding of Hour")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

可以看到，23点和0点的编码值在正弦和余弦空间中是连续的。

编码原理详解

为什么同时使用sin和cos？

• 单一函数的局限性：单独使用sin 或 cos 会导致不同时间点具有相同的编码值（例如，sin(0)=sin(π)=0）。
• 互补性：同时使用sin 和 cos 可以消除歧义，确保每个时间点对应唯一的二维坐标。

几何意义

• 将时间特征映射到单位圆上的一个点，坐标由$(\sin(\theta),\cos(\theta))$决定。
• 周期性特征的相邻值在单位圆上相邻，保留时间连续性。

特征工程

将原始特征替换为 sin 和 cos 分量后，输入模型：

# 示例：使用编码后的特征训练模型
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 假设X包含编码后的特征，y是目标变量
X = df[["hour_sin", "hour_cos", "day_of_week_sin", "day_of_week_cos", "month_sin", "month_cos"]]
y = ... # 目标变量（如销售额）

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

优势

• 保留周期性：模型能理解23点和0点的连续性。
• 低维度：每个周期性特征仅增加2个维度（优于独热编码的高维度）。

对比其他编码方法

扩展：处理不规则周期

对于不规则周期（如每月的天数不同），可以按实际周期长度调整：

# 示例：月份的周期按实际天数调整（假设非闰年）
month_days = [31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]
df["month_radians"] = 2*np.pi*(df["month"]-1)/month_days # 月份从1开始

掌握这种编码方式后，你可以更好地处理时间序列、传感器数据等周期性特征！如果需要对其他类型特征（如方位角）编码，方法类似。