SVD奇异值分解原理及应用

什么是SVD?

奇异值分解(singular value decomposition)是线性代数中一种重要的矩阵分解,在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用,SVD都是提取信息的强度工具。在机器学习领域,很多应用与奇异值都有关系,比如推荐系统、数据压缩(以图像压缩为代表)、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。

SVD的原理

矩阵相关知识

正交与正定矩阵

  • 正交矩阵:若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量,则该矩阵为正交矩阵,且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0。
  • 正定矩阵:如果对于所有的非零实系数向量 z,都有 $z^T \mathbf Az>0$,则称矩阵$\mathbfA$是正定的。正定矩阵的行列式必然大于0,所有特征值也必然>0。相对应的,半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。

转置与共轭转置

矩阵的转置(transpose)是最简单的一种矩阵变换。简单来说,若$m\times n$的矩阵$\mathbf M$的转置记为$M^T$;则$\mathbf M^T$是一个$n\times m$的矩阵,并且$\mathbf M_{i,j}=\mathbf M^T_{j,i}$。因此,矩阵的转置相当于将矩阵按照主对角线翻转;同时,我们不难得出$\mathbf M=(\mathbf M^T)^T$。

矩阵的共轭转置(conjugate transpose)可能是倒数第二简单的矩阵变换。共轭转置只需要在转置的基础上,再叠加复数的共轭即可。因此,若以$\mathbf M^{\mathsf H}$记矩阵$\mathbf M$的共轭转置,则有$\mathbf M_{i,j} = \overline{\bigl(\mathbf M^{\mathsf H}\bigr)_{j,i}}$。

酉矩阵

酉矩阵(unitary matrix)是一种特殊的方阵,它满足$\mathbf U\mathbf U^{\mathsf H} = \mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U = I_n$。不难看出,酉矩阵实际上是推广的正交矩阵(orthogonal matrix);当酉矩阵中的元素均为实数时,酉矩阵实际就是正交矩阵。另一方面,由于$\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf M^{-1}\mathbf M = I_n$,所以酉矩阵 $\mathbf U$ 满足$\mathbf U^{-1} = \mathbf U^{\mathsf H}$,事实上,这是一个矩阵是酉矩阵的充分必要条件。

正规矩阵

同酉矩阵一样,正规矩阵(normal matrix)也是一种特殊的方阵,它要求在矩阵乘法的意义下与它的共轭转置矩阵满足交换律。这也就是说,若矩阵 $\mathbf M$ 满足如下条件,则称其为正规矩阵:$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$。显而易见,复系数的酉矩阵和实系数的正交矩阵都是正规矩阵。显而易见,正规矩阵并不只有酉矩阵或正交矩阵。例如说,矩阵$\mathbf M = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$即是一个正规矩阵,但它显然不是酉矩阵或正交矩阵;因为$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} = \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$。

谱定理和谱分解

矩阵的对角化是线性代数中的一个重要命题。谱定理(spectral theorem)给出了方阵对角化的一个结论:若矩阵 $\mathbf M$ 是一个正规矩阵,则存在酉矩阵 $\mathbf U$,以及对角矩阵$\mathbf \Lambda$,使得$\mathbf M = \mathbf U\mathbf \Lambda\mathbf U^{\mathsf H}$。这也就是说,正规矩阵,可经由酉变换,分解为对角矩阵;这种矩阵分解的方式,称为谱分解(spectral decomposition)。

SVD奇异值分解

谱定理给出了正规矩阵分解的可能性以及分解形式。然而,对于矩阵来说,正规矩阵是要求非常高的。因此,谱定理是一个非常弱的定理,它的适用范围有限。在实际生产中,我们遇到的很多矩阵都不是正规矩阵。对于这些矩阵,谱定理就失效了。作为谱定理的泛化,SVD 分解对于原矩阵的要求就要弱得多。

假设$\mathbf M$是一个$m\times n$的矩阵,其中的元素全部属于数域$\mathbb K$(实数域$\mathbb R$或复数域$\mathbb C$)。那么,存在$ m\times m$的酉矩阵$\mathbf U$和$n\times n$的酉矩阵$\mathbf V$使得:

$$M_{m×n}=U_{m×m} \Sigma_{m×n} V^T_{n×n}$$

其中 $\mathbf\Sigma$ 是 $m\times n$的非负实数对角矩阵;并且 $\mathbf\Sigma$对角线上的元素$\mathbf\Sigma_{i, i}$是$\mathbf M$的奇异值。一般来说,我们偏好将这些奇异值按从大到小的顺序排列,这样一来$\mathbf\Sigma$就由$\mathbf M$唯一确定了。

另一方面,因为 U 和 V 都是酉矩阵,所以 U 和 V 的列向量分别张成 Km 和 Kn 的一组标准正交基。我们将 U 的列向量记作 u⃗ i,1⩽i⩽m;将 V 的列向量记作 v⃗ j,1⩽j⩽n;同时,将 Σ 对角线上的第 i 个元素记作 σk,1⩽k⩽min(m,n)。那么,SVD 分解实际可以将矩阵 M 写作一个求和形式:

$$\mathbf M = \sum_{i = 1}^{\min(m, n)}\sigma_i\vec u_i\vec v_i^{\mathsf T}$$

SVD 的计算方法

SVD 与特征值

现在,假设矩阵$\mathbf M_{m\times n}$ 的 SVD 分解是$\mathbf M = \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H}$,那么,我们有

$$\begin{aligned}

\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} &{}= \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H}\mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H} = \mathbf U(\mathbf\Sigma\mathbf\Sigma^{\mathsf H})\mathbf U^{\mathsf H}\\

\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M &{}= \mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H} = \mathbf V(\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf\Sigma)\mathbf V^{\mathsf H}\\

\end{aligned}$$

这也就是说,$\mathbf U$的列向量(左奇异向量),是$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$的特征向量;同时,$\mathbf V$ 的列向量(右奇异向量),是$\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$的特征向量;另一方面,$\mathbf M$的奇异值($\mathbf\Sigma$ 的非零对角元素)则是$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$或者$\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$的非零特征值的平方根。

如何计算 SVD

有了这些知识,我们就能手工计算出任意矩阵的 SVD 分解了;具体来说,算法如下:

  • 计算 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 和 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$;
  • 分别计算$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$和$\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$的特征向量及其特征值;
  • $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$的特征向量组成$\mathbf U$;而$\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$的特征向量组成 $\mathbf V$;
  • 对$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$和$\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$的非零特征值求平方根,对应上述特征向量的位置,填入$\mathbf\Sigma$的对角元。

实际计算看看

现在,我们来试着计算$\mathbf M = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$的奇异值分解。计算奇异值分解,需要计算$\mathbf M$与其共轭转置的左右积;这里主要以$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$为例。

首先,我们需要计算$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$:

$$\mathbf W = \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}20 & 14 & 0 & 0 \\ 14 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

现在,我们要求 W 的特征值与特征向量。根据定义$\mathbf W\vec x = \lambda \vec x$;因此$(\mathbf W – \lambda\mathbf I)\vec x = \vec 0$ 。这也就是说:

$$\begin{bmatrix}

20 – \lambda & 14 & 0 & 0 \\

14 & 10 – \lambda & 0 & 0 \\

0 & 0 & -\lambda & 0 \\

0 & 0 & 0 & -\lambda

\end{bmatrix}\vec x = \vec 0$$

根据线性方程组的理论,若要该关于$\vec x$的方程有非零解,则要求系数矩阵的行列式为 0;也就是:

$$\begin{vmatrix}

20 – \lambda & 14 & 0 & 0 \\

14 & 10 – \lambda & 0 & 0 \\

0 & 0 & -\lambda & 0 \\

0 & 0 & 0 & -\lambda

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

20 – \lambda & 14 \\

14 & 10 – \lambda \\

\end{vmatrix}\begin{vmatrix}

-\lambda & 0 \\

0 & -\lambda \\

\end{vmatrix}

= 0$$

这也就是$$\bigl((20 – \lambda)(10 – \lambda) – 196\bigr)\lambda^2 = 0$$;解得$\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0$, $\lambda_{3} = 15 + \sqrt{221} \approx 29.866$,$\lambda_{4} = 15 – \sqrt{221} \approx 0.134$。将特征值代入原方程,可解得对应的特征向量;这些特征向量即作为列向量,形成矩阵:

$$\mathbf U = \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

同理可解得(注意,$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf T}$和$\mathbf M^{\mathsf T}\mathbf M$的特征值相同)

$$\mathbf V = \begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}$$

以及$\mathbf\Sigma$上的对角线元素由$\mathbf W$的特征值的算术平方根组成;因此有:

$$\mathbf\Sigma = \begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$$

因此我们得到矩阵$\mathbf M$的 SVD 分解(数值上做了近似):

$$\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}$$

SVD的应用实战

本次实战内容为基于模型的协同过滤算法。假设我们用m个用户,n个商品,每个用户对每个商品的评分可以组成一个m*n的二维矩阵。当然,这个矩阵中会有非常多的值是不知道的,可能是用户没有用过这个商品,也有可能用户使用后没有进行评分。如下图所示:

图中空白位置即未知的值。接下来,我们需要做的是根据这个残缺的二维矩阵中已知的值,预测出未知的值,即预测出每一个用户对每一个商品的评分。可以想象,当矩阵被预测值补充完整之后,矩阵的每一行即表示一个用户对所有商品的评分,可以从这些评分中提取评分最高的几个商品推荐给用户,这样我们就完成了一个推荐系统模型。接下来,就是如何通过已知值预测未知值的问题了,这里我们采用矩阵分解的方式,如图所示:

中间矩阵可以拆分为左边和上边两个矩阵的乘积,这就是奇异值分解,一个矩阵总是可以拆分成两个矩阵相乘。

第一步:安装Python组件及准备数据

1、安装Python推荐系统库:Surprise(Simple Python Recommendation System Engine)

2、准备训练数据

用到的数据集movieslen 100k:https://grouplens.org/datasets/movielens/

Surprise自带数据集就支持movieslen,运行如下代码:

交互窗口提示如下内容:

输入Y以后会自动将数据集下载下来并可直接使用。

第二步:使用SVD进行模型训练

第三步:根据模型结果进行推荐

SVD的缺点

SVD分解是早期推荐系统研究常用的矩阵分解方法,不过该方法具有以下缺点,因此很难在实际系统中应用。

  • 该方法首要需要用一个简单的方法补全稀松评分矩阵。一般来说,推荐系统中的评分矩阵是非常稀疏的,一般都有95%以上的元素是缺失的。而一旦补全,评分矩阵就会变成一个稠密矩阵,从而使评分矩阵的存储需要非常大的空间,这种空间的需求在实际系统中是不可能接受的。
  • 该方法依赖的SVD分解方法的计算复杂度较高,特别是在稠密的大规模矩阵上更是非常慢。一般来说,这里的SVD分解用于1000维以上的矩阵就已经非常慢了,而实际系统动辄上千万的用户和几百万的物品,所以这一方法无法使用。如果仔细研究这方面的论文可以发现,实验都是在几百个用户、几百个商品的数据集上进行的。

如何解决SVD存在的问题,请听下回分解。

参考链接:

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支付宝标点符 alipay qrcode

聚类算法之Affinity Propagation(AP)

Affinity Propagation算法简介 AP(Affinity Propagation)通常被翻译为

机器学习算法之朴素贝叶斯

贝叶斯分类是一类分类算法的总称,这类算法均以贝叶斯定理为基础,故统称为贝叶斯分类。而朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类

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Equivalence Class Transformation(Eclat)是频繁项挖掘和关联性分析的另外一

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