由于Logistic Regression算法复杂度低、容易实现等特点，在工业界中得到广泛使用，如计算广告中的点击率预估等。但是，Logistic Regression算法主要是用于处理二分类问题，若需要处理的是多分类问题，如手写字识别，即识别是{0，1，…，9}中的数字，此时，需要使用能够处理多分类问题的算法。Softmax Regression算法是Logistic Regression算法在多分类问题上的推广，主要用于处理多分类问题，其中，任意两个类之间是线性可分的。
目录
Logistic Regression
在Logistic回归中比较重要的有两个公式，一个是阶跃函数：
$$h_{\theta}(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T} x}}$$
另一个是对应的损失函数：
$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m} y^{(i)} \log h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right)\right]$$
最终，Logistic回归需要求出的是两个概率：$P(y=1|x;\theta )$和$P(y=0|x;\theta )$。具体的Logistic回归的过程可参见“机器学习算法之逻辑回归”。
Softmax Regression
在Logistic回归需要求解的是两个概率，而在Softmax Regression中将不是两个概率，而是k个概率，k表示的是分类的个数。我们需要求出以下的概率值：
$$h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)=\left(\begin{array}{c}{P\left(y^{(i)}=1 | x^{(i)} ; \theta\right)} \\ {P\left(y^{(i)}=2 | x^{(i)} ; \theta\right)} \\ {\cdots} \\ {P\left(y^{(i)}=k | x^{(i)} ; \theta\right)}\end{array}\right)=\frac{1}{\sum_{j=1}^{k} e^{\theta_{j}^{T} x^{(i)}}}\left[\begin{array}{c}{e^{\theta_{1}^{T} x^{(i)}}} \\ {e^{\theta_{2}^{T} x^{(i)}}} \\ {\cdots} \\ {e^{\theta_{k}^{T} x^{(i)}}}\end{array}\right]$$
此时的损失函数为：
$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} I\left\{y^{(i)}=j\right\} \log \frac{e^{\theta_{j}^{T} x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k} e^{\theta_{l}^{T} x^{(i)}}}\right]$$
其中I{}是一个指示性函数，意思是大括号里的值为真时，该函数的结果为1，否则为0。下面就这几个公式做个解释：
损失函数的由来
概率函数可以表示为：
$$P(y | x ; \theta)=\prod_{j=1}^{k} (\frac{e^{\theta_{j}^{T} x}}{\sum_{l=1}^{k} e^{\theta_{l}^{T} x}})^{I\{y=j\}}$$
其似然函数为：
$$L(\theta)=\prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{k} (\frac{e^{\theta_{j}^{T} x}}{\sum_{l=1}^{k} e^{\theta_{l}^{T} x}})^{I\{y=j\}}$$
$\log$似然为：
$$l(\theta)=\log L(\theta)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} I\{y=j\} \log \frac{e^{\theta_{j}^{T} x}}{\sum_{l=1}^{k} e^{\theta_{l}^{T} x}}$$
我们要最大化似然函数，即求$\max l(\theta )$。再转化成损失函数。
对$\log$似然(或者是损失函数)求偏导
为了简单，我们仅取一个样本，则可简单表示为：
$$l(\theta)=\sum_{j=1}^{k} I\{y=j\} \log \frac{e^{\theta_{j}^{T} x}}{\sum_{l=1}^{k} e^{\theta_{l}^{T} x}}$$
对$l(\theta )$求偏导：
$$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_{j}^{(m)}}=\sum_{j=1}^{k} I\{y=j\}\left(x^{(m)}-\frac{e^{\theta_{j}^{T} x}}{\sum_{l=1}^{k} e_{l}^{f_{l}} x} \cdot x^{(m)}\right)=[I\{y=j\}-P(y=j | x ; \theta)] x^{(m)}$$
其中，表示第维。如Logistic回归中一样，可以使用基于梯度的方法来求解这样的最大化问题。
使用Python实现Softmax Regression
import numpy as np
import random
def load_train_data(input_file):
feature_data = []
label_data = []
with open(input_file) as f:
for line in f.readlines():
feature_tmp = []
feature_tmp.append(1) # 偏置项
lines = line.strip().split("\t")
for i in range(len(lines) - 1):
feature_tmp.append(float(lines[i]))
label_data.append(int(lines[-1]))
feature_data.append(feature_tmp)
return np.mat(feature_data), np.mat(label_data).T, len(set(label_data))
def load_test_data(num, m):
"""导入测试数据
:param num: 生成的测试样本的个数
:param m: 样本的维数
:return: 生成测试样本
"""
test_dataset = np.mat(np.ones((num, m)))
for i in range(num):
test_dataset[i, 1] = random.random() * 6 - 3 # 随机生成[-3,3]之间的随机数
test_dataset[i, 2] = random.random() * 15 # 随机生成[0,15]之间是的随机数
return test_dataset
def cost(err, label_data):
"""计算损失函数值
:param err: exp的值
:param label_data: 标签的值
:return: sum_cost / m(float):损失函数的值
"""
m = np.shape(err)[0]
sum_cost = 0.0
for i in range(m):
if err[i, label_data[i, 0]] / np.sum(err[i, :]) > 0:
sum_cost -= np.log(err[i, label_data[i, 0]] / np.sum(err[i, :]))
else:
sum_cost -= 0
return sum_cost / m
def gradient_ascent(feature_data, label_data, k, max_cycle, alpha):
"""利用梯度下降法训练Softmax模型
:param feature_data: 特征
:param label_data: 标签
:param k: 类别的个数
:param max_cycle: 最大的迭代次数
:param alpha: 学习率
:return: weights(mat)：权重
"""
m, n = np.shape(feature_data)
weights = np.mat(np.ones((n, k))) # 权重的初始化
i = 0
while i <= max_cycle:
err = np.exp(feature_data * weights)
if i % 500 == 0:
print("\t-----iter: ", i, ", cost: ", cost(err, label_data))
row_sum = -err.sum(axis=1)
row_sum = row_sum.repeat(k, axis=1)
err = err / row_sum
for x in range(m):
err[x, label_data[x, 0]] += 1
weights = weights + (alpha / m) * feature_data.T * err
i += 1
return weights
def save_weights(file_name, weights):
"""保存最终的模型
:param file_name: 保存的文件名
:param weights: softmax模型
:return:
"""
f_w = open(file_name, "w")
m, n = np.shape(weights)
for i in range(m):
w_tmp = []
for j in range(n):
w_tmp.append(str(weights[i, j]))
f_w.write("\t".join(w_tmp) + "\n")
f_w.close()
def load_weights(weights_path):
"""导入训练好的Softmax模型
:param weights_path: 权重的存储位置
:return: weights(mat)将权重存到矩阵中
m(int)权重的行数
n(int)权重的列数
"""
with open(weights_path) as f:
w = []
for line in f.readlines():
w_tmp = []
lines = line.strip().split("\t")
for x in lines:
w_tmp.append(float(x))
w.append(w_tmp)
weights = np.mat(w)
m, n = np.shape(weights)
return weights, m, n
def predict(test_data, weights):
"""利用训练好的Softmax模型对测试数据进行预测
:param test_data: 测试数据的特征
:param weights: 模型的权重
:return: h.argmax(axis=1)所属的类别
"""
h = test_data * weights
return h.argmax(axis=1) # 获得所属的类别
def save_result(file_name, result):
"""保存最终的预测结果
:param file_name: 保存最终结果的文件名
:param result: 最终的预测结果
:return:
"""
with open(file_name, "w") as f:
m = np.shape(result)[0]
for i in range(m):
f.write(str(result[i, 0]) + "\n")
if __name__ == "__main__":
input_file = "./data/SoftInput.txt"
feature, label, k = load_train_data(input_file)
weights = gradient_ascent(feature, label, k, 10000, 0.4) # 训练Softmax模型
save_weights("weights", weights)
w, m, n = load_weights("weights")
test_data = load_test_data(4000, m)
result = predict(test_data, w)
save_result("result", result)
使用scikit-learn中的Softmax Regression
softmax和LogisticRegression分别适用于多分类和二分类问题，sklearn将这两者放在一起，只需设置相应的参数即可选择分类器与对应的优化算法，需要注意的是loss function是否收敛。
from sklearn.linear_model import LogisticRegression clf = LogisticRegression(multi_class='ovr', solver='sag') clf.fit(X_train, y_train) r = clf.score(X_test, y_test)
参考链接：
