机器学习算法之逻辑回归

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逻辑回归算法的名字里虽然带有“回归”二字,但实际上逻辑回归算法是用来解决分类问题的。简单来说, 逻辑回归(Logistic Regression)是一种用于解决二分类(0 or 1)问题的机器学习方法,用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性,某病人患有某种疾病的可能性,以及某广告被用户点击的可能性等。 注意,这里用的是“可能性”,而非数学上的“概率”,logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值,不可以直接当做概率值来用(逻辑回归是基于分布假设建立的,假设在现实案例中并不是那么容易满足,所以,很多情况下,我们得出的逻辑回归输出值,无法当作真实的概率,只能作为置信度来使用)。该结果往往用于和其他特征值加权求和,而非直接相乘。

逻辑回归(Logistic Regression)与线性回归(Linear Regression)都是一种广义线性模型(generalized linear model)。逻辑回归假设因变量 y 服从伯努利分布,而线性回归假设因变量 y 服从高斯分布。 因此与线性回归有很多相同之处,去除Sigmoid映射函数的话,逻辑回归算法就是一个线性回归。可以说,逻辑回归是以线性回归为理论支持的,但是逻辑回归通过Sigmoid函数引入了非线性因素,因此可以轻松处理0/1分类问题。

逻辑回归的优缺点

优点:

  • 速度快,适合二分类问题
  • 简单易于理解,直接看到各个特征的权重
  • 能容易地更新模型吸收新的数据

缺点:

  • 对数据和场景的适应能力有局限性,不如决策树算法适应性那么强

逻辑回归算法原理

假设函数(Hypothesis function)

首先我们要先介绍一下Sigmoid函数,也称为逻辑函数(Logistic function):

    \[g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\]

其函数曲线如下:

从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线,它的取值在[0, 1]之间,在远离0的地方函数的值会很快接近0或者1。它的这个特性对于解决二分类问题十分重要。

逻辑回归的假设函数形式如下:

    \[h_\theta (x) = g(\theta ^Tx),g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\]

所以:

    \[h_\theta (x) =\frac{1}{1+e^{-\theta ^Tx}}\]

其中x是我们的输入,\theta为我们要求取的参数。一个机器学习的模型,实际上是把决策函数限定在某一组条件下,这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然,我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是:

    \[P(y=1|x;\theta )=g(\theta ^Tx)=\frac{1}{1+e^{-\theta ^Tx}}\]

这个函数的意思就是在给定x和\theta的条件下 y=1 的概率。这里 g(h) 就是我们上面提到的sigmoid函数,与之相对应的决策函数为:

    \[y^* = 1, if P(y=1|x)>0.5\]

选择0.5作为阈值是一个一般的做法,实际应用时特定的情况可以选择不同阈值,如果对正例的判别准确性要求高,可以选择阈值大一些,对正例的召回要求高,则可以选择阈值小一些。

决策边界(Decision Boundary)

决策边界,也称为决策面,是用于在N维空间,将不同类别样本分开的平面或曲面。注意:决策边界是假设函数的属性,由参数决定,而不是由数据集的特征决定。这里我们引用Andrew Ng 课程上的两张图来解释这个问题:

线性决策边界

这里决策边界为: -3+x_1+x_2=0

非线性决策边界

这里决策边界为: -1+x_1^2+x_2^2 = 0

上面两张图很清晰的解释了什么是决策边界,决策边界其实就是一个方程,在逻辑回归中,决策边界由 \theta^Tx=0 定义:

    \[P(y=1|x;\theta )=g(\theta ^Tx)=\frac{1}{1+e^{-\theta ^Tx}}\]

这里我们要注意理解一下假设函数和决策边界函数的区别与联系。决策边界是假设函数的属性,由假设函数的参数(\theta)决定。

在逻辑回归中,假设函数 h=g(z) 用于计算样本属于某类别的可能性;决策函数 y^* = 1, if P(y=1|x)>0.5用于计算(给出)样本的类别;决策边界 \theta^Tx=0 是一个方程,用于标识出分类函数(模型)的分类边界。

损失函数(Cost Function)

逻辑回归的假设为:h_\theta(x) = 1 / (1 + e^{- \theta^T x}),我们的任务是找到一个 “合适” 的\theta来使这个假设尽可能地解决我们的问题。例如分类任务,我们希望决策边界能最大程度将数据区分开。那么数学上怎么表达这种需求呢?在线性回归中,一般采用均方误差用来评价一个\theta的好坏:

    \[J(\theta) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\frac{1}{2} (h_\theta(x^{(i)} ) - y^{(i)} )^2}\]

J(\theta)越小,认为\theta越好。那为什么不直接把逻辑回归的h_\theta(x)代入均方误差呢?原因是这样产生的J(\theta)是非凸函数 (non-convex)。我们举个例子:

可以看出这个损失函数是非凸的,局部最小值不等于全局最小值,因此使用梯度下降法难以求解。因此逻辑回归模型使用如下的损失函数,

    \[J(\theta) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{ Cost( h_\theta (x^{(i)}) , y)}\]

    \[Cost( h_\theta (x) , y) = \begin{cases}-\log(h_\theta(x)), & \text{if}\ y = 1 \\-\log(1 - h_\theta(x)), & \text{if}\ y = 0 \end{cases}\]

写成统一的形式:

    \[J(\theta) = - \frac{1}{m}\Big[\sum_{i=1}^{m}{ y^{(i)} \log h_{\theta} ( x^{(i)} ) + (1-y^{(i)} ) \log (1-h_\theta(x^{(i)} ) )}\Big]\]

那么损失函数是如何影响决策的呢?首先,损失函数是对 hθ(x) 给出错误结论的惩罚。因此损失越小,一般就认为 hθ(x) 的结论就越正确。而上面这个式子意味着,损失越小,最后得到的 hθ(x) 曲面会越“贴近”数据点,换言之会“越陡”:

这幅图中,J(\theta_{blue}) < J(\theta_{green}),即蓝色曲面对应的\theta的损失要小于绿色曲面对应的\theta值。可以看到,损失小的蓝色曲面更陡。

损失函数对决策边界有何影响?我们取 h_\theta(x) = 0.5 的决策边界,可以看到决策边界也有略微的不同:

但由于这两个\theta都能把这两组数据区分开,因此它们并没有特别大的差别。猜想,逻辑回归的训练中,前几个迭代应该就能快速地制定出决策边界,接下来一些迭代的作用应该就是让h_\theta(x)“更陡”,一味追求损失更小究竟对决策边界有帮助吗?

小结一下,如何决定模型的损失函数?一是损失函数要正确评价参数,使损失更小的参数对解决问题更有利;另一方面,受限于优化手段,要求损失函数能求解。当然一些常用的模型损失函数也大致确定了。

梯度下降(Gradient Descent)

线性回归类似,我们使用梯度下降算法来求解逻辑回归模型参数。关于梯度下降的详细信息见线性回归文章中的相关内容。

正则化(Regularization)

当模型的参数过多时,很容易遇到过拟合的问题。这时就需要有一种方法来控制模型的复杂度,典型的做法在优化目标中加入正则项,通过惩罚过大的参数来防止过拟合。

    \[J(\theta) = -\frac{1}{N}\sum {y\log{g(\theta^T x)} + (1-y)\log{(1-g(\theta^T x))}} + \lambda \Vert w \Vert_p\]

一般情况下,取p=1或p=2,分别对应L1,L2正则化,两者的区别可以从下图中看出来,L1正则化(左图)倾向于使参数变为0,因此能产生稀疏解。

关于正则化的详细内容见岭回归、Lasso回归文章中的详细内容。

使用Scikit-Learn进行逻辑回归

在scikit-learn里,逻辑回归模型由类sklearn.linear_model.LogisticRegression实现。

正则项权重

正则项权重\lambda,在LogisticRegression里有个参数C与此对应,但成反比。即C值越大,正则项的权重越小,模型容易出现过拟合;C值越小,正则项权重越大,模型容易出现欠拟合。

L1/L2范数

创建逻辑回归模型时,有个参数penalty,其取值有’l1’或’l2’,这个实际上就是指定我们前面介绍的正则项的形式。

最简单的使用方法:

对于参数优化,可以选择LogisticRegressionCV或GridSearchCV

GridSearchCV:

LogisticRegressionCV:

参考链接:

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