矩阵分解之交替最小二乘ALS

ALS（alternating least squares）

ALS是交替最小二乘的简称。在机器学习中，ALS特指使用交替最小二乘求解的一个协同推荐算法。如：将用户（user）对商品（item）的评分矩阵分解成2个矩阵：

• user对item 潜在因素的偏好矩阵(latent factor vector)
• item潜在因素的偏好矩阵

假设有m个user和n个item，所以评分矩阵为R。ALS(alternating least squares)希望找到2个比较低纬度的矩阵（X和Y）来逼近这个评分矩阵R。

$$R_{m \times n}\approx X_{m \times k} \cdot Y_{n \times k}^T$$

ALS的核心就是这样一个假设：打分矩阵是近似低秩的。换句话说，就是一个m*n的打分矩阵可以由分解的两个小矩阵U（m*k）和V（k*n）的乘积来近似。这就是ALS的矩阵分解方法。

为了让X和Y相乘能逼近R，因此我们需要最小化损失函数(loss function)，因此需要最小化损失函数，在此定义为平方误差和(Mean square error, MSE)。

$$Loss(X,Y)=\sum_{i,u}^{}(r_{ui}-x_uY_i^T)^2$$

一般损失函数都会需要加入正则化项(Regularization item)来避免过拟合的问题，通常是用L2，所以目标函数会被修改为：

$$Loss(X,Y)=\sum_{i,u}^{}(r_{ui}-x_uY_i^T)^2+\lambda (\sum_{u}^{}||x_u||^2+\sum_{i}^{}||y_i||^2)$$

上面介绍了“最小二乘（最小平方误差）”，但是还没有讲清楚“交替”是怎么回事。因为X和Y都是未知的参数矩阵，因此我们需要用“交替固定参数”来对另一个参数求解。

先固定Y, 将loss function对X求偏导，使其导数等于0：

$$\frac{\partial Loss(X,Y)}{\partial x_u}=0 \Rightarrow x_u = (\sum_{i}^{}y_i^Ty_i+\lambda I)^{-1}\sum_{i}^{}r_{ui}y_i$$

再固定X, 将loss function对Y求偏导，使其导数等于0：

$$\frac{\partial Loss(X,Y)}{\partial y_i}=0 \Rightarrow y_i = (\sum_{u}^{}x_u^Tx_u+\lambda I)^{-1}\sum_{u}^{}r_{ui}x_u$$

既然是交替，就会有迭代的模式存在：

1. 初始化X,Y
2. 利用for u=1,…,n do $\frac{\partial Loss(X,Y)}{\partial x_u}=0$ 去得到$x_u$
3. 利用for i=1,…,m do $\frac{\partial Loss(X,Y)}{\partial y_i}=0$ 去得到$y_i$
4. 重复2和3，不断去更新直到均方根误差RMSE收敛

$$\hat{R} \approx XY^T$$

$$RMSE = \sqrt{\frac{\sum (\hat{R}-R)^2}{N}}$$

ALS-WR（alternating-least-squares with weighted-λ-regularization）

加权正则化交替最小二乘法。上文提到的模型适用于解决有明确评分矩阵的应用场景，然而很多情况下，用户没有明确反馈对商品的偏好，也就是没有直接打分，我们只能通过用户的某些行为来推断他对商品的偏好。比如，在电视节目的推荐的问题中，对电视节目收看次数或时长，这时我们可以推测次数越多看的时间越长，用户的偏好程度越高，但是对于没有收看的节目，可能是用户不知道该节目，或者没有途径获取节目，我们不能确定的推测用户不喜欢该节目，ALS-WR通过置信度权重来解决这些问题：对于更确信用户偏好的项赋予较大的权重，对于没有反馈的项赋予较小的权重。

损失函数为：

$${Loss}_{ALS-WR}(X, Y)=\sum_{i, u} c_{u i}(p_{u i}-x_{u}y_{i}^{T})^{2}+\lambda(\sum_{u}||x_{u}||^{2}+\sum_{i}||y_{i}||^{2}) $$

$$P_{m \times n} =\left[\begin{array}{ccc} p_{11} & \cdots & p_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{m 1} & \cdots & p_{m n} \end{array}\right], p_{u i}=\left\{\begin{array}{cc} 1 & i f r_{u i}>0 \\ 0 & i f r_{u i}=0 \end{array}\right.$$

$$C_{m \times n}=\left[\begin{array}{ccc} c_{11} & \cdots & c_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m 1} & \ldots & c_{m n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1+\alpha r_{11} & \cdots & 1+\alpha r_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1+\alpha r_{m 1} & \ldots & 1+\alpha r_{m n} \end{array}\right], c_{u i}=1+\alpha r_{u i}$$

其中， $r_{ui}$表示原始量化值，比如观看电影的时间；$\alpha$表示根据用户行为所设置的信任度

小结

在实际应用中，由于待分解的矩阵常常是非常稀疏的，与SVD相比，ALS能有效的解决过拟合问题。基于ALS的矩阵分解的协同过滤算法的可扩展性也优于SVD。与随机梯度下降的求解方式相比，一般情况下随机梯度下降比ALS速度快；但有两种情况ALS更优于随机梯度下降：

• 当系统能够并行化时，ALS的扩展性优于随机梯度下降法。
• ALS-WR能够有效的处理用户对商品的隐式反馈的数据

ALS算法的缺点在于：

• 它是一个离线算法。
• 无法准确评估新加入的用户或商品。这个问题也被称为冷启动问题。

参考链接：

• 矩陣分解(Matrix Factorization): 交替最小平方法(Alternating least squares, ALS)和加權交替最小平方法(Alternating-least-squares with weighted-λ -regularization, ALS-WR)