格兰杰因果关系检验学习笔记

格兰杰因果关系检验简介

格兰杰因果关系检验(英语:Granger causality test)是一种假设检定的统计方法,检验一组时间序列x是否为另一组时间序列y的原因。它的基础是回归分析当中的自回归模型。回归分析通常只能得出不同变量间的同期相关性;自回归模型只能得出同一变量前后期的相关性;但诺贝尔经济学奖得主克莱夫·格兰杰(Clive Granger)于1969年论证 ,在自回归模型中透过一系列的检定进而揭示不同变量之间的时间落差相关性是可行的。

格兰杰本人在其2003年获奖演说中强调了其引用的局限性,以及“很多荒谬论文的出现”。格兰杰因果关系检验的结论只是一种统计估计,不是真正意义上的因果关系,不能作为肯定或否定因果关系的根据。同时,格兰杰因果关系检验也有一些不足之处,如并未考虑干扰因素的影响,也未考虑时间序列间非线性的相互关系。

格兰杰因果关系检验的是“统计学意义上”的因果性(时间上的先后)。和我们日常语言里说的因果性不是一回事。从统计的角度,因果关系是通过概率或者分布函数的角度体现出来的:在宇宙中所有其它事件的发生情况固定不变的条件下,如果一个事件 A 的发生与不发生对于另一个事件 B 的发生的概率(如果通过事件定义了随机变量那么也可以说分布函数)有影响,并且这两个事件在时间上又先后顺序(A 前 B 后),那么我们便可以说 A 是 B 的原因。

这里的原因不等于生活中常说的原因,比如夏天下雷阵雨前会有很多蜻蜓飞来飞去,从统计学上存在相关因果关系,但是并不能说蜻蜓飞来飞去是导致下雨的原因。反而可以说下雨时蜻蜓飞来飞去的原因。Granger causality所做的,是观测到某些候选变量和目标变量,看某个候选变量是否有对目标变量的不可(被其他观测到的候选变量)替代的预测能力。

格兰杰因果关系检验原理

格兰杰因果关系检验的基本观念在于:未来的事件不会对目前与过去产生因果影响,而过去的事件才可能对现在及未来产生影响。也就是说,如果我们试图探讨变量x是否对变量y有因果影响,那么只需要估计x的滞后期是否会影响y的现在值,因为x的未来值不可能影响y的现在值。假如在控制了y变量的过去值以后, x 变量的过去值仍能对Y 变量有显著的解释能力,我们就可以称x能“Granger 影响”(Granger-cause)y。

早期因果性是简单通过概率来定义的,即如果 P(B|A)>P(B) 那么 A 就是 B 的原因(Suppes,1970);然而这种定义有两大缺陷:

  • 没有考虑时间先后顺序
  • 从P(B|A)>P(B)由条件概率公式马上可以推出 P(A|B)>P(A),显然上面的定义就自相矛盾了。

事实上,以上定义还有更大的缺陷,就是信息集的问题。严格讲来,要真正确定因果关系,必须考虑到完整的信息集,也就是说,要得出 “A 是 B 的原因” 这样的结论,必须全面考虑宇宙中所有的事件,否则往往就会发生误解。最明显的例子就是若另有一个事件 C,它是 A 和 B 的共同原因,考虑一个极端情况:若 P(A|C)=1,P(B|C)=1,那么显然有 P(B|AC)=P(B|C),此时可以看出 A 事件是否发生与 B 事件已经没有关系了。

因此,Granger(1980)提出了因果关系的定义,他的定义是建立在完整信息集以及发生时间先后顺序基础上的。至于判断准则,也在逐步发展变化:

最初是根据分布函数(条件分布)判断,注意$\Omega_{n}$是到 n 期为止宇宙中的所有信息,$Y_n$为到 n 期为止所有的$Y_{t}\,(t=1 \cdots n)$,$X_{n+1}$为第 n+1 期 X 的取值,$\Omega_{n}-Y_{n}$为除 Y 之外的所有信息。

$$ F(X_{n+1} | \Omega_{n}) \neq F(X_{n+1} | (\Omega_{n} – Y_{n}))$$

后来认为宇宙信息集是不可能找到的,于是退而求其次,找一个可获取的信息集 J 来替代$\Omega$:

$$F(X_{n+1} | J_{n}) \neq F(X_{n+1} | (J_{n} – Y_{n}))$$

再后来,大家又认为验证分布函数是否相等实在是太复杂,于是再次退而求其次,只是验证期望是否相等(这种叫做均值因果性,上面用分布函数验证的因果关系叫全面因果性):

$$E(X_{n+1} | J_{n}) \neq E(X_{n+1} | (J_{n} – Y_{n}))$$

也有一种方法是验证 Y 的出现是否能减小对$X_{n+1}$的预测误差,即:

$$\sigma^{2}(X_{n+1} | J_{n}) < \sigma^{2}(X_{n+1} | (J_{n} – Y_{n}))$$

最后一种方法已经接近我们最常用的格兰杰因果检验方法,统计上通常用残差平方和来表示预测误差,于是常常用 X 和 Y 建立回归方程,通过假设检验的方法(F 检验)检验 Y 的系数是否为零。

可以看出,我们所使用的 Granger 因果检验与其最初的定义已经偏离甚远,削减了很多条件(并且由回归分析方法和 F 检验的使用我们可以知道还增强了若干条件),这很可能会导致虚假的因果关系。因此,在使用这种方法时,务必检查前提条件,使其尽量能够满足。此外,统计方法并非万能的,评判一个对象,往往需要多种角度的观察。正所谓 “兼听则明,偏听则暗”。诚然真相永远只有一个,但是也要靠科学的探索方法。

格兰杰因果关系检验的步骤描述

  1. 准备工作:一开始要用几个滞后期来建立模型,需要研究者的评估,通常使用赤池信息量准则(英语:Akaike information criterion、简称AIC)或贝叶斯信息量准则(英语:Bayesian information criterion、简称BIC)来判断。
  2. 格兰杰因果关系检验的第一步是建立用y的滞后期来预测y的自回归模型。此际,如果时间序列y是广义平稳的,则可以直接使用滞后期。如果不平稳,就必须对不平稳的时间序列先做(一阶或更多阶)差分,直到得出平稳时间数列。
  3. 如果发现y 的某期滞后期在回归分析中具有显著性(根据 t检定的p值来判断),且这期滞后期加入模型后可提高回归模型的解释力(根据回归分析的F检定),这个滞后期便被留在模型中。
  4. 然后进一步加入x(或$\Delta x$)的滞后期来扩充回归模型。关于平稳时间序列的要求、某期滞后期留在模型中的条件,同上述y的处理。
  5. 当且仅当(充分必要)没有任何解释变项x(或$\Delta x$)的滞后期被留在模型中,便无法拒绝无格兰杰因果关系的零假设。
  6. 研究人员希望发现明显的证据,比如x是y的格兰杰原因但反之不成立,便能做出因果关系的推论。然而在实际操作中也可能会发现没有变量是对方的格兰杰原因,或者x和y两个变量互为格兰杰原因。

格兰杰因果关系检验的数学定义:

1.令x和y为广义平稳序列。如要检测x非y的格兰杰原因之零假设,首先引入y的滞后期建立y的自回归模型(AR model on y):

$$y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+…+a_{m}y_{t-m}+residual_{t}$$

所有的y滞后期中:在回归分析中具有显著性(根据t-统计值的p值来判断)的,且这期滞后期加入模型后可提高回归模型的解释力(根据回归分析的F检定)的--将被留在模型中。 m表示的是y变量滞后期中检定为显著的时间上最早一个。

2.接着,引入x的滞后期建立增广回归模型:

$$y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+…a_{m}y_{t-m}+b_{p}x_{t-p}+…+b_{q}x_{t-q}+residual_{t}$$

所有的x滞后期中:在回归分析中具有显著性(根据学生t检验的p值来判断)的,且这期滞后期加入模型后可提高回归模型的解释力(根据回归分析的F检定)的--将被留在模型中。在以上增广回归模型中, p代表x变量滞后期中检定为显著的时间上最早一个, q则是x变量滞后期中检定为显著的时间上最近一个。

3.如果没有任何x的滞后期被留在模型中,无格兰杰因果关系的零假设就成立。

格兰杰因果关系检验的执行步骤:

第一步:检验原假设“H0:X不是引起Y变化的Granger原因”。首先,估计下列两个回归模型:

  • 无约束回归模型(u):$Y_t = \alpha _0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha _iY_{t-i}+\sum_{i=1}^{q}\beta _iX_{t-i} + \varepsilon _t$
  • 无约束回归模型(r):$Y_t = \alpha _0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha _iY_{t-i} + \varepsilon _t$

式中,$\alpha _0$表示常数项;p和q分别为变量Y和X的最大最后期数,通常可以取稍大一些,$\varepsilon _t$为白噪声。然后用这两个回归模型的残差平方和$RSS_u$和$RSS_r$构造F统计量:

$$F = \frac{(RSS_r-RSS_u)/q}{RSS_u/(n-p-q-1)}\sim F(q,n-p-q-1)$$

其中,n为样本容量。

检验元假设“$H_0$:X不是引起Y变化的Granger原因”(等价于检验$H_0:\beta _1 = \beta _2 = … =\beta_q = 0$)是否成立。

如果$F\geq F_{\alpha } \quad (q,n-p-q-1)$,则$\beta _1,\beta _2, …,\beta_q $显著不为0,因拒绝假设“H0:X不是引起Y变化的Granger原因”,反之,则不能拒绝假设“H0:X不是引起Y变化的Granger原因”。

第二步:将Y与X的位置交换,按同样的方法检验原假设“H0:Y不是引起X变化的Granger原因”。

第三步:要得到“X是Y的Granger原因”的结论,必须同时拒绝原假设“H0:X不是引起Y变化的Granger原因”和接受原假设“H0:Y不是引起X变化的Granger原因”。

格兰杰因果关系检验的Python实现

Python的statsmodels中就带有Granger causality test。

测试数据:

Epochtime Open High Low Close  Vol
1486094520 808.11 808.11 808.11 808.11 100
1486094580 809.45 809.45 809.45 809.45 100
1486094820 809.99 809.99 809.99 809.99 100
1486095540 811.45 811.45 811.45 811.45 100
1486095840 811.3 811.3 811.01 811.01 300
1486095900 810.76 810.76 810.76 810.76 100
1486096200 812 812 812 812 100

代码示例:

返回结果:

结果解读:

  • number of lags (no zero) 1:当lags为1时的检测结果
  • ssr based F test:残差平方和F检验
  • ssr based chi2 test:残差平方和卡方检验
  • likelihood ratio test:似然比检验结果
  • parr F testamete:参数 F 检验结果

文档地址:https://www.statsmodels.org/stable/generated/statsmodels.tsa.stattools.grangercausalitytests.html

参考链接:

微信支付标点符 wechat qrcode
支付宝标点符 alipay qrcode

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