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程序员的数学之排列组合

钱魏Way · · 80 次浏览

高中和大学都学过排列组合相关的内容,或许都有印象,但是相关的内容都可能不太记得了。今天发现小学四年级就开始学排列组合了。关于排列组合的相关内容较为简单,这里仅作一些梳理。

什么排列组合?

排列组合是数学中的一个分支,主要研究如何从一个集合中选取元素并对其进行排列或组合。

  • 排列(Permutation):排列是指从一个集合中选取元素,并考虑其顺序进行安排。例如,从三个字母A、B、C中选取两个进行排列,可能的结果有AB、BA、AC、CA、BC、CB共6种情况。
  • 组合(Combination):组合是指从一个集合中选取元素,但不考虑其顺序。例如,从三个字母A、B、C中选取两个进行组合,可能的结果只有AB、AC、BC共3种情况。

排列组合公式

排列组合的公式非常的简单。

排列的公式

排列问题涉及从n个不同的元素中选取r个元素,并考虑其顺序。

  • 第一步:选出第一个元素时,有n种选择。
  • 第二步:选出第二个元素时,由于第一个位置已经被占用,剩下n-1种选择。
  • 第三步:选出第三个元素时,剩下n-2种选择。
  • 依此类推,直到选出第r个元素时,剩下n-r+1种选择。

将这些选择方式相乘,得到排列数:

$$P(n, r) = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

排列的公式可以用 $A(n, r)$或$P(n, r)$来表示,两者在不同的教材或地区可能有不同的使用习惯。无论是用A还是P,它们表达的都是排列的概念,即从n个元素中选取r个元素并考虑顺序的安排方式。

公式为:

$$A(n, r) = P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

其中,n是集合中元素的总数r是要选取的元素数。选择使用A 或P主要取决于个人或教材的习惯。

组合的公式

组合问题涉及从n个不同的元素中选取r个元素,不考虑顺序。

  • 首先,计算从n 个元素中选取 r 个元素的排列数,即 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$。
  • 然而,每一种组合可以通过$r!$种不同的顺序进行排列。因此,我们需要将排列数除以这些重复的排列方式,以消除顺序的影响。

因此,组合数的公式为:

$$C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

这个公式表示从n个元素中选取r个元素的不同组合数,不考虑顺序。通过这些步骤,我们就可以推导出排列和组合的公式。

参考链接:

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