蒙提霍尔问题：换一扇门，中奖率翻倍？

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem，又称三门问题）是一个看似简单、却让绝大多数人第一反应出错，甚至让上万名读者和数学家争论多年的经典概率谜题。它来自美国电视游戏节目《Let’s Make a Deal》（一锤定音），以主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）的名字命名。1990 年，专栏作家玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）在《Parade》杂志上给出了「应该换门」的答案，随即收到近万封读者来信，其中约九成都在质疑她——写信的人里不乏数学教授和博士。而问题的答案，其实从未改变过。

这到底是道什么样的题？为什么那么多聪明人会错？我们分五步来看：先弄清游戏规则和直觉陷阱，再用「数一数」的笨办法证明换门更好，接着揭示最关键的主持人假设，然后从贝叶斯视角理解信息如何改变概率，最后写一段代码用十万次实验说话。

游戏规则与直觉陷阱

先把规则说完整，任何省略都会改变答案。游戏是这样的：

• 三扇关闭的门后，分别藏着一辆汽车和两只羊，车的位置随机。
• 你先选择一扇门，但先不打开。
• 主持人知道每扇门后是什么，他从剩下两扇门中，打开一扇有羊的门。
• 此时你得到一个机会：坚持最初选的门，或者换到另一扇还没打开的门。
• 打开你最终选定的门，拿到汽车就算赢。

到了第 4 步，局面是：三扇门已开了一扇（后面是羊），还剩两扇关着，其中一扇有车、一扇有羊。绝大多数人的直觉在这里给出了判断：「剩下两扇门，一车一羊，不管换不换都是 50%。」

这个直觉错在哪里？错在它把两扇门当成了完全对称的两个选项。实际上，你最初选的那扇门是「随手一指」，而主持人留下的那扇门是「经过选择」的——主持人开门的动作不是随机的，它本身就在向你透露信息。换句话说，换门与不换门并不对称，它们的胜率分别是 2/3 和 1/3。

换门为什么更好

先给结论：换门的中奖率是 2/3，不换只有 1/3——不是直觉告诉你的 1/2。这个结论不用任何公式，把三种情形全部列出来就能看清。

你的初始选择一共有三种可能：选到车、选到羊 A、选到羊 B，每种可能各占 1/3。注意主持人的行为差异：如果你选到车，主持人可以随便开两扇羊门中的任意一扇；但如果你选到羊，主持人只能打开剩下那一扇羊门——他没有第二个选择。

这张表一列就清楚了：不换门，只有「初始选到车」这一种情况（1/3）能赢；换门，只要「初始选到羊」就必赢（2/3）。「换门」之所以赢面更大，本质上是把赌注从「第一次就猜中车」（1/3）转移到了「第一次猜错」（2/3）上——而主持人的动作恰好把错误选项帮你排除掉了。

用一个极端化的比喻更容易记住：如果主持人先让你从三扇门里选一扇，然后告诉你「剩下两扇门里至少有一扇是羊，我来帮你把羊开掉」——他其实是在帮你缩小范围，而真正藏车的概率，始终更可能在你没选的那一侧。

一切取决于主持人

三门问题的答案之所以反直觉，是因为它建立在一组非常具体的假设之上。主持人必须知道车的位置、总是开一扇羊门、总是给你换门的机会——三条缺一不可。任何一条被改动，答案都会变。

• 主持人知道车在哪。这是信息不对称的根源，也是换门策略能占便宜的前提。
• 主持人总是开一扇羊门。无论你选什么，他都开羊门，绝不开车。
• 主持人总是让你有机会换。他不会因为你选对了就取消换门选项。

假设被破坏会怎样？最经典的反例是：如果主持人自己也不知道车在哪，只是随机从剩下两扇门里开一扇——那么有 1/3 的概率他会直接把车开出来（游戏作废）。在游戏没作废的剩余情形里，换与不换的胜率都变成 1/2。你看，同一个游戏，只改主持人一个行为，答案就从 2/3 变成了 1/2。

把门数放大：100 扇门版本

如果 2/3 还是不够直观，试试 100 扇门的版本：100 扇门后只有一辆车，你先选 1 扇（中奖率 1/100），主持人打开剩下的 98 扇羊门，只留 1 扇。这时候几乎所有人都愿意换——因为主持人「特意留下」的那扇门，有 99/100 的概率是车。三门问题只是这个规律在 3 扇门下的特例：换门胜率 = 1 – 1/门数。

信息如何改变概率

贝叶斯视角能把这背后的原理讲得更干净：概率不是一成不变的，它会随着新信息被更新。最初，车在三扇门后的概率各为 1/3，这就是「先验」。当你看到主持人打开一扇羊门时，你应该用这个新信息去更新「后验」。

设车在 1 号门（你选的）、2 号门、3 号门的先验概率都是 1/3。假设主持人打开了 3 号门，记这个事件为B 。根据主持人的规则：如果车在 1 号门，他随机开 2 号或 3 号，所以P(B|车在1号)=1/2；如果车在 2 号门，他只能开 3 号，所以P(B| 车在2号)=1；如果车在 3 号门，他绝不会开它，所以P(B| 车在3号)=0。

用贝叶斯公式 $(P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}$计算后验：

$$P(\text{车在2号} | B) = \frac{1 \times 1/3}{1/2 \times 1/3 + 1 \times 1/3 + 0 \times 1/3} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$$

用贝叶斯公式  计算后验：

计算结果是：主持人开门后，你选的 1 号门后验概率仍是 1/3，而另一扇 2 号门涨到了 2/3。主持人「特意跳过」的那扇门，携带了额外信息——他跳过它，恰恰说明车大概率在那里。这就像老师考前说「这次不考第 3 章」，这句看似无关的提醒，其实已经把复习重点转移到了别处。

注意：条件概率更新必须基于主持人的确定规则。规则不同， 就不同，后验也会随之改变——这正是第 3 节中「随机开门」版本答案变成 1/2 的原因。

用模拟说话

如果推导还是说服不了你，那就让计算机跑一遍。把游戏规则原样翻译成代码，重复十万次，用大数定律看胜率是否收敛到 2/3。下面这段 Python 代码模拟了完整的游戏：车随机放置、玩家随机选择、主持人开羊门，然后分别统计「不换」和「换门」两种策略的胜率。

import random

def play(switch: bool, trials: int = 100_000) -> float:
    wins = 0
    for _ in range(trials):
        car = random.randint(0, 2)   # 车所在的门
        pick = random.randint(0, 2)  # 玩家先选的门
        if switch:
            # 换门：只要最初选错就赢（主持人会帮你排除另一扇羊门）
            wins += (pick != car)
        else:
            wins += (pick == car)
    return wins / trials

print(f"不换门：{play(False):.1%}")
print(f"换门：  {play(True):.1%}")

运行结果大致如下（每次随机种子不同，数值会有小幅波动）：

不换门：33.4%
换门：  66.5%

十万次实验的结果与理论值 1/3 和 2/3 高度吻合。值得一提的是，当年匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）起初也不接受 2/3 的答案，正是看了蒙特卡洛模拟的数值结果后才转变了态度——连顶级数学家都会被直觉绊倒，普通人的第一反应出错就更不奇怪了。

结论

换门的中奖率是 2/3——当主持人「选择性」打开一扇羊门时，他其实在告诉你：剩下那扇门里藏着车的概率更高。这个问题的价值远超一道游戏题：它提醒我们，概率直觉在面对「信息不对称」时极不可靠，而正确的做法是永远问一句「这个动作背后的人知道什么、他的选择受什么规则约束」。

下次再遇到类似的概率判断，试试这三步：把全部情形列出来数一遍；检查有没有人掌握了你不掌握的信息；用模拟或小规模实验验证直觉。这套方法能帮你躲开大多数直觉陷阱——无论对方是一扇门，还是一份投资建议。

参考文献 / 扩展阅读

• Wikipedia：Monty Hall problem，https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
• Marilyn vos Savant 专栏（Parade，1990）：Ask Marilyn 关于三门问题的问答（存档版），https://web.archive.org/web/20130121183432/http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
• Wikipedia：Let’s Make a Deal（原节目介绍），https://en.wikipedia.org/wiki/Let%27s_Make_a_Deal