标点符(钱魏 Way)

数据分析之层次分析法

层次分析法(Analytic Hierarchy Process)简称AHP,是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的, AHP是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次,使之条理化,根据对一定客观现实的主观判断结构(主要是两两比较)把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来,将每个层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后,利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值,通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。

层次分析法的适用范围

层次分析法适用于多目标决策,用于存在多个影响指标的情况下,评价各方案的优劣程度。当一个决策受到多个要素的影响,且各要素间存在层次关系,或者有明显的类别划分,同时各指标对最终评价的影响程度无法直接通过足够的数据进行量化计算的时候,就可以选择使用层次分析法。

AHP的模型结构

首先,可以根据实际问题构建层次模型,这里以网站质量的衡量为例来简单说明下,我们可以认为网站质量主要由网站内容的质量及网站交互的友好度决定,而内容的质量又受到内容的完整性、准确性和及时性的影响;交互的友好度由交互流程的友好度及网站的整体信息架构的优良程度来决定,所以可以构建如下图的模型:

为了计算各要素对上一层指标的影响权重(如内容的准确性对内容质量的影响程度有多高,需要计算出该权重,而完整性、准确性和及时性3个指标对内容质量的影响权重的和为1,其它各指标也同样满足该原则),需要构建对比矩阵,即从模型的第二层开始运用9标度对从属于上一层中每个要素的同层各要素间进行两两比较,如模型中的要素i相对于要素j对上层要素的重要程度,1表示i与j同等重要,3表示i比j略重要,5表示i比j重要,7表示i比j重要很多,9表示i比j极其重要,可以用Wi/Wj表示该重要程度,两两比较后可以得到以下矩阵:

因为上面的矩阵是通过两两比较的结果列出来的,所有对于整个矩阵而言不一定是完全一致的,所以首先需要验证该对比矩阵的一致性。可以通过计算矩阵的最大特征值的方法来衡量矩阵的一致性,相关的指标有一致性指标CI,随机一致性指标RI,一致性比率CR=CI/RI(具体的计算方法不详细介绍了,可以参考相关资料)。一般当CR<0.1时,我们认为该对比矩阵的一致性是可以被接受的。

如果矩阵的一致性满足要求,则可以根据矩阵的最大特征值进一步计算得到对应的特征向量,并通过对特征向量进行标准化(使特征向量中各分量的和为1)将其转化为权向量,也就是我们要求的结果,权向量中的各分量反映了各要素对其相应的上层要素的影响权重。如:

网站质量=内容质量*0.6+交互友好*0.4

内容质量=完整性*0.3+准确性*0.4+及时性*0.3

交互友好=交互流程*0.7+信息架构*0.3

在计算得到各要素相对于上层要素的权重之后,我们就可以通过加权平均的方法将最底层指标的测量结果汇总到目标指标的最总分值,用于评价各决策方案的优劣性,并选择最优方案。如:

网站质量=(完整性*0.3+准确性*0.4+及时性*0.3)*0.6+(交互流程*0.7+信息架构*0.3)*0.4

层次分析法的应用前提

在应用层次分析法时,必须满足以下几个前提:

  • 各层的要素必须是已知的,并且条理结构清晰,能够按层次区分排列;
  • 同一层中的各要素的关系是平等的,而各要素间相互独立,不存在显著的相关性;
  • 最底层的指标可以被量化,并能够通过一定的方法测量;
  • 需要明确各层次间要素的影响关系。

层次分析法的基本步骤

1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次,同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层,通常只有1个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。

2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始,对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素,用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵,直到最下层。

3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量,利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量:若不通过,需重新构追成对比较阵。

4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量,并根据公式做组合一致性检验,若检验通过,则可按照组合权向量表示的结果进行决策,否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。

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